નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x d x$ ..... $(1)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} \left(\frac{\pi}{2} - x\right) d x$
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$,તેથી:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} x d x$ ..... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin ^{2} x + \cos ^{2} x) d x$
કારણ કે $\sin ^{2} x + \cos ^{2} x = 1$,તેથી:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 d x$
$2I = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$2I = \frac{\pi}{2} - 0$
$2I = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$